Guadalcanal
28.04.2022Das folgende Rätsel war angeblich unter GI’s (US-Soldaten) auf Guadalcanal (eine Insel im Pazifik) sehr beliebt:
Ein Mann besitzt ein Theater mit 100 Plätzen. Das Theater wird von 100 Zuschauern besucht. Die Eintrittspreise betragen 6 Cent für Männer, 2 Cent für Frauen und 1 Cent für je 10 Kinder.
Die Gesamteinnahmen betragen 1 Dollar.
Wie viele Frauen, Männer und Kinder besuchen das Theater?
Lösung:
Zunächst müssen die Variablen festgelegt werden.
Variablen festlegen:
\( x: \text{Anzahl Männer}\\ y: \text{Anzahl Frauen}\\ z: \text{Anzahl Kinder geteilt durch 10}\)Die Anzahl der Kinder wird geschickterweise in Vielfache von 10 angegeben, damit im folgenden LGS die Zahlen nicht so groß werden bzw. nicht mit dem Bruch gerechnet werden muss. 1 Dollar ist 100 Cent.
LGS aufstellen:
\[ \begin{align*} &\text{Besucherzahl:\quad} & x \;& + & y \;&+& 10z &= 100 \\ &\text{Einnahmen:} & 6x \;& + &2y \;&+& z &= 100 \end{align*} \]Das sind nur zwei Gleichungen für drei Unbekannte, das LGS ist also unterbestimmt. Da Personenzahlen aber nur ganzzahlig sein können und zudem zwischen 0 und 100 liegen müssen, kommen zu diesen Bedingungen noch welche hinzu, die nicht als Gleichungen ausdrückbar sind (man könnte sie holonome Bedingungen nennen).
Man löst das LGS zunächst soweit auf wie möglich und drückt die Anzahl Frauen und Männer in Abhängigkeit von aus:
\[
\begin{align} & x \;& + & y \;&+& 10z &= 100 \\
& 6x \;& + &2y \;&+& z &= 100 \end{align}
\]