Wie viele Nächte liegen zwischen 2 Tagen? Wie viele Nächte liegen also zwischen 4 Tagen?
Erläuterung
Durch die fehlende Proportionalität sind manche erste einmal verwirrt, dass zwischen zwei Tagen eine Nacht, zwischen vier Tagen aber drei (und gerade nicht doppelt so viele, also zwei) Nächte liegen.
Die Allee: Auf jeder Seite einer 120 m langen Allee werden Bäume im Abstand von 10 m gepflanzt.
Wie viele Bäume benötigt man dafür?
Erläuterung
Ein typischer Kandidat für das 'Lattenzaun-Problem'. Wegen 120 : 10 = 12 lautet eine häufige Antwort, dass 24 Bäume benötigt werden. Dabei wurde aber in jeder Reihe der erste Baum (oder letzte) vergessen.
Die richtige Antwort lautet: Es werden \(2\cdot 13=26\) Bäume benötigt.
Ein Unternehmen möchte von einer bestimmten Schokoladensorte mehr verkaufen. Zu diesem Zweck enthält jede Tafel Schokolade eine Sondermarke. Für zehn Sondermarken bekommt man eine Tafel Schokolade gratis. Wie viel ist eine Sondermarke wert?
Erläuterung
Die naheliegende Antwort wäre \(\frac{1}{10}\) Tafel Schokolade, da man für 10 Sondermarken eine Tafel bekommt. Da aber die gratis erhaltene Tafel Schokolade ebenfalls eine Sondermarke enthält bekommt man für 10 Sondermarken eine Tafel Schokolade und eine Sondermarke. Folglich ist eine Sondermarke \(\frac{1}{9}\) Tafel Schokolade wert.
Eine Schnecke möchte einen 1,20 m hohen Brunnen hochkriechen. Jeden Tag schafft sie 40 cm, nachts rutscht sie aber wieder 30 cm hinab. Nach wie vielen Tagen hat sie den Brunnen erklommen?
Erläuterung
Da die Schnecke jeden Tag effektiv 10 cm an Höhe gewinnt wäre eine naheliegende Antwort nach 12 Tagen. Dabei macht man aber einen kleinen Denkfehler: Wenn die Schnecke nur noch 40 cm an Höhe übrig hat, dann erklimmt sie am darauffolgenden Tag den Brunnen und rutscht in der darauffolgenden Nacht nicht mehr ab. Nach 8 Tagen hat sie die 80 cm erreicht und wird am 9. Tag die 1,20 m erreicht haben. Die richtige Antwort lautet also nach 9 Tagen.
Hier ein paar schöne Zerlegungsaufgaben:
Die folgende Figur des unbekannten Künstlers Yin Young besteht aus Kreisbögen. Diese soll durch drei Geraden in acht flächeninhaltsgleiche Flächenstücke zerlegt werden:
Erläuterung
Die drei Geraden müssen so eingezeichnet werden:
Der Radius des großen Kreises ist doppelt so groß wie der Radius der kleinen Halbkreise ( \(R=2\cdot r \) ). Daher hat der große Kreis den Flächeninhalt \[ \begin{align*} A_{\text{groß}} = \pi\cdot R^2 &= \pi\cdot (2r)^2\\ &= 4\cdot\pi\cdot r^2 = 4\cdot A_{\text{klein}}, \end{align*}\] also einen viermal so großen Flächeninhalt wie der kleine Kreis. Daher halbiert der kleine Halbkreis die Viertelkreissegmente des großen Kreises.
Nach dieser einfachen Einstiegsaufgabe steigern wir uns ein wenig.
Das folgende gleichschenklige Trapez mit den Innenwinkelweiten 60° bzw. 120°, bei dem die Unterseite doppelt so lang ist wie die Oberseite soll in vier kongruente (gleich große, gleich aussehende) Teilfiguren zerlegt werden:
Lösung
Die Lösung sieht wie folgt aus:
Darin lassen sich zahlreiche gleichseitige Dreiecke entdecken.
Und noch eine Figur. Diese L-förmige Figur soll ebenfalls in vier kongruente Teilfiguren zerlegt werden:
Lösung
Die Lösung besteht ebenfalls aus Teilfiguren, die ähnlich der Hauptfigur sind:
Hier noch eine letzte Figur. Diese soll ausnahmsweise in fünf kongruente Teilfiguren zerlegt werden:
Lösung
Diese Lösung ist sehr einfach. Aber da sich der engagierte Rätsler zuvor mit den komplexeren Zerlegefiguren beschäftigt hat, bei denen eine Miniaturversion der großen Figur die Lösung war, versucht er hier irgendwie kleine Quadrate einzupassen.
Dabei ist die Lösung so naheliegend…
Das folgende Schaubild K gehört zu einer Funktion f. Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und begründe deine Entscheidung.
\( \quad f'(2)>1 \)
An der Stelle \(x=2\) ist die Steigung des Schaubilds deutlich größer als \(1\) (die Steigung der ersten Winkelhalbierenden), daher ist diese Aussage wahr.
\(\quad f'(8)=0\quad\) und \(\quad f''(8)<0\)
Diese Aussage ist falsch. An der Stelle \(x=8\) ist zwar \(f'(x)=0\), da das Schaubild dort eine waagrechte Tangente hat, allerdings gilt dort auch \(f''(x)=0\), da sich an der Stelle die Krümmung ändert (von rechtsgekrümmt zu linksgekrümmt). Es handelt sich also um einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente. Solche Punkte nennt man auch Sattel- oder Terrassenpunkte.
\(\quad f''(7)>0 \)
Diese Aussage ist falsch. An der Stelle \(x=7\) ist die Kurve rechtsgekrümmt, die zweite Ableitung muss also negativ sein. (Vgl. Hochpunkt)
In einer Baumschule sollen 10 Weihnachtsbäume so gepflanzt werden, dass fünf gerade Reihen zu jeweils 4 Bäumen entstehen.
Finde ein Anordnung mit fünf Reihen!
Lösung
Eine mögliche Lösung für dieses Problem ist, diese in Form eines Pentagramms anzuordnen:
Wem diese Aufgabe zu einfach war, der kann hier noch mehr Weihnachtsbäume setzen!
Hier noch eine letzte Figur. Diese soll ausnahmsweise in fünf kongruente Teilfiguren zerlegt werden:
Finde ein Anordnung mit fünf Reihen!
Wem diese Aufgabe zu einfach war, der kann