Optimierungsaufgabe Tunnel

30.03.2022

Der Querschnitt eines Tunnels kann durch eine Parabel mit der Gleichung $f(x)=-\frac{1}{4}x^2+4$ beschrieben werden. In diesen Tunnel sollen eine Decke und gerade Wände eingebaut werden (siehe Zeichnung). Form des Tunnels Berechne die Maße der Wände so, dass der Innenraum möglichst groß wird.

Lösung

Hier ist die Lösung:

Variable festlegen:

Als Variable wählen wir die halbe Deckenbreite $u$ in Meter (siehe Zeichnung) mit $0 \le u \le 4$ . Größen der Optimierung

Nebenbedingungen formulieren:

Die zu optimierende Größe ist der Flächeninhalt eines Trapezes. Zur Berechnung des Flächeninhalts $(A_{\text{Trapez}}=\frac{a+c}{2}\cdot h)$ brauchen wir die Höhe und die zwei dazugehörigen Seitenlängen:
$a=8$
$c=2\cdot u$
$h=f(u)=-\frac{1}{4}u^2+4$ (der rechte obere Eckpunkt liegt auf der Parabel).

Zielfunktion aufstellen:

Der Flächeninhalt $A$ des Trapezes soll maximal werden:
$A=\frac{a+c}{2}\cdot h$
Alles einsetzen:
$A(u)=\frac{8+2u}{2}\cdot f(u) = (4+u)\cdot (-\frac{1}{4}u^2+4)$
$A(u)=-\frac{1}{4}u^3-u^2+4u+16$

Optimierung der Zielfunktion:

Die Zielfunktion ist keine quadratische Funktion, sie kann also nicht mit Methoden der Eingangsklasse optimiert werden. Daher muss das numerisch (mit dem Taschenrechner) gemacht werden:

$$u$$	$$A(u)$$
1,32	18,96261
1,33	18,96294
1,34	18,96287

$u$ wird in Meter angegeben, eine sinnvolle Genauigkeit des Ergebnisses wäre Zentimeter. Daher wird $u$ auf 2 Nachkommastellen genau durchprobiert. Gib den Wert vor dem Optimium und den Wert nach dem Optimium an.

Lösung für J1: Mit Differentialrechnung

Ableitungen bilden: \[ \begin{align*} A'(u) &= -\frac{3}{4}u^2-2u+4 \\ A''(u) &= -\frac{3}{2}u-2 \end{align*}\] Nullstellen der ersten Ableitung (n.B. für Extrempunkte): \[ \begin{align*} A'(u) &= 0 \\ -\frac{3}{4}u^2-2u+4 &=0 \\ u_1 &= \frac{4}{3} \approx 1,33\\ u_2 &= -4 \;\text{(Lösung irrelevant)} \end{align*}\] Hinreichende Bedingung für Hochpunkt: \[ \begin{align*} A''(u) &< 0 \\ A''(\frac{4}{3}) &= -\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}-2=-4<0 \end{align*}\] erfüllt. Maximum bestimmen: \[ A(\frac{4}{3})=\frac{512}{27}\approx 18,96\]

Animation der Optimierung

Randwertbetrachtung:

Bitte nicht vergessen und gleich angewöhnen!
$A(0)=16 < 18,96$
$A(4)=0$
Kein Randextremum.

Interpretation im Sachzusammenhang:

$h=f(1,33)=-0,25 \cdot 1,33^2+4\approx 3,56$
Die größtmögliche trapezförmige Querschnittsfläche ist $3,56\; \text{m}$ hoch, hat eine Deckenbreite von $2 \cdot 1,33\; \text{m} = 2,66\; \text{m}$ und eine Querschnittsfläche von ca. $18,96 \;\text{m}^2$ .

21 Bäume

29.03.2022

Baumschule

In einer Baumschule sollen 21 Weihnachtsbäume so gepflanzt werden, dass möglichst viele gerade Reihen zu jeweils 5 Bäumen entstehen.
Wem das zu schwer ist, der kann sich mit dieser Aufgabe ein wenig aufwärmen. 21 Bäume in 5er Reihen Finde ein Anordnung mit mehr als 11 Reihen!

Lösung

Das ist schon ein schwierigeres Problem… Die Lösung die ich für zwölf Reihen gefunden habe ist: Lösung: 21 Bäume in 5er Reihen Die Grundfigur ist ein regelmäßiges Achteck.

HTML Grundelemente

28.03.2022

HTML Grundgerüst

Hier ein minimalistisches Grundgerüst mit eingebundener css-Datei:

<!DOCTYPE html>
<html lang="de">
<head>
    <meta charset="utf-8">
    <title></title>
    <link rel="stylesheet" type="text/css" href="format.css">
</head>
<body>
    ...
</body>
</html>

HTML 5 Grundgerüst

In HTML 5 sind weitere Elemente hinzugekommen. Der folgende Quelltext sieht in etwa so aus:

Quelltext:

<!DOCTYPE html>
<html lang="de">
<head>
    <meta charset="utf-8">
    <title> HTML 5 Elemente: </title>
    <link rel="stylesheet" type="text/css" href="format.css">
</head>
<body>
    <header> <h2> Kopfzeile </h2> </header>
    <nav> <h4> Navigationsleiste </h4> 
         <ul>
            <li> Erstens </li>
            <li> Zweitens </li>
        </ul>
    </nav> 
    <main> <h1> Hauptseite </h1> Hier kommt der Inhalt
        <section>
            <h4> Eine Sektion </h4>
                Zum Gliedern des Dokuments.
        </section>
        <article>
            <h4> Ein Article </h4>
            z.B. Blog - Eintrag oder Kommentar. 
            <aside>Ein Kommentar in aside</aside> 
            und so weiter
        </article>    
    </main> 
    <footer> <h2> Fußzeile </h2> </footer>
</body>
</html>

CSS:

body {
    font-family: Helvetica, Arial, sans-serif;}

h1 {color:blue}

header {border: 2px solid black; 
    background-color: grey; 
    width: 100%; 
    height: 100px;  
    text-align: center}

nav {border: 2px solid yellow; 
    background-color: #fffacd; 
    width: 100%; 
    height: 100px; 
    display: block}

li {display: inline; 
    float: left; 
    padding: 15px}

main {border: 2px solid black; 
    text-align: center}

section {border: 2px solid #a0522d; 
    background-color: #d2b48c; 
    width: 70%}

article {text-align: left; 
    border: 2px solid green; 
    background-color: #00fa9a; 
    width: 80%}

aside {text-align: center; 
    border: 2px solid red; 
    background-color: #ffa07a; 
    width: 30%; 
    float: right; 
    margin: 0 1.5%}

footer {border: 2px solid blue; 
    height: 50px; 
    text-align: center; 
    background-color: #87cefa}

Die natürliche Exponentialfunktion

26.03.2022

Eine besondere Exponentialfunktion

Für welche Basis $b$ ist die Parallele zur ersten Winkelhalbierenen $y=x+1$ Tangente am Schaubild $K$ einer Exponentialfunktion $f(x)=b^x$ im Punkt $(0|1)$ ? verschiedene Exponentialfunktionen Alle Exponentialfunktionen haben mit der Geraden den Punkt $(0|1)$ gemeinsam. Ist $b$ zu groß, dann erkennt man einen zweiten gemeinsamen Punkt im zweiten Quadranten, der immer näher an $(0|1)$ heranrückt, je kleiner $b$ wird. Ist $b$ kleiner als etwa 2,7 befindet sich der zweite gemeinsame im ersten Quadranten und rückt weiter nach rechts, je kleiner $b$ wird. Es muss also einen Wert etwa zwischen 2,0 und 3,5 geben, für den die beiden gemeinsamen Punkte zu einem verschmelzen. Das ist die gesuchte Basis.
Das ist dann der Fall, wenn das Schaubild $K$ nie unterhalb der Gerade verläuft. Es muss also gelten: \[ b^x \ge x+1\] Wir ziehen die $x$ -te Wurzel auf beiden Seiten (da wir positive Werte suchen sollte das kein Problem sein) und erhalten \[ b \ge \sqrt[x]{x+1}\] Das kann man mit den Potenzregeln auch so schreiben: \[ b \ge (x+1)^{\frac{1}{x}}\] Die Gleichheit sollte gelten, wenn $x=0$ ist, also im Punkt $(0|1)$ . Allerdings müssten wir dann durch Null dividieren, was aber nicht geht…
Wir können uns der Null aber annähern: \[ b = \lim_{x\rightarrow 0} (x+1)^{\frac{1}{x}}\] Uns stört der Bruch. Substituieren wir doch einfach mal $x$ durch $\frac{1}{n}$ also \[ x=\frac{1}{n}\quad \text{bzw.} \quad n = \frac{1}{x}\] Wenn $x\rightarrow 0$ gegen Null geht, dann geht $n\rightarrow \infty$ gegen Unendlich und wir erhalten \[ b = \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^{n} = \text{e} \quad \color{red}{\text{!!!}}\] Das ist gerade die Definition der Eulerschen Zahl $\text{e}$ !

Das Schaubild der Funktion $f$ mit $f(x)=\text{e}^x$ hat im Punkt $(0|1)$ eine Tangente, die parallel zur ersten Winkelhalbierenden ist.
Die Exponentialfunktion mit der Eulerschen Zahl $\text{e}$ als Basis ist diejenige Exponentialfunktion, die an der Stelle $x=0$ die Steigung 1 hat!

Die Funktion \[ f: x\rightarrow \text{e}^x \] ( $\text{e}$ : Eulersche Zahl)
heißt Natürliche Exponentialfunktion. Sie spielt eine herausragende Rolle in Naturwissenschaften und Technik (und im Rest der Welt natürlich auch).

Stochastikaufgabe zu Corona

25.03.2022

Aufgabe zu Begrifflichkeiten in der Coronalage

Der Inzidenzwert liegt derzeit im Landkreis Karlsruhe bei etwa 2000, das bedeutet, dass gegenwärtig etwa 2000 von 100 000 Personen mit Covid-19 infiziert sind. In Prozent ausgedrückt heißt das, dass \[ \frac{2000}{100 000}=\frac{2}{100}=2 \;\% = 0,02\] aller Einwohner des Landkreises coronapositiv sind.
Unsere Schule wird von etwa 1500 Schülerinnen und Schülern besucht. Wir gehen davon aus, dass die SuS unabhängig voneinander erkranken.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau 30 SuS unserer Schule im Moment coronapositiv sind.

Die Anzahl Coronainfizierter $X$ ist binomialverteilt mit $n=1500$ , $p=0,02$ und $k=30$ : \[ P(X=30)=B_{1500; 0,02}(30) \approx 7,34\; \% \] Mit dem Taschenrechner gibt man das so ein:

binomialpdf(1500, 0.02, 30)

Oder man berechnet das so: \[ P(X=30)=\binom{1500}{30}\cdot 0,02^{30} \cdot 0,98^{1470} \approx 7,34\; \% %\] Als Taschenrechnereingabe:

1500 nCr 30 * 0.02^30 * 0.98^1470

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 30 SuS unserer Schule im Moment coronapositiv sind.

Hier geht es um die kumulierte Wahrscheinlichkeit: \[ \begin{align*} P(X \le 30) &= P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=30)\\ &= \sum_{k=0}^{i=30} P(X=k) \approx 54,8 \;\% \end{align*}\] Taschenrechnereingabe:

binomialcdf(1500, 0.02, 30)

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 20 SuS unserer Schule im Moment coronapositiv sind.

Vorsicht: ‘mehr als 20’ bedeutet 21 oder mehr. Dies berechnet man am einfachsten über die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses: \[ \begin{align*} P(X > 20) &= 1 - P(X \le 20)\\ &= 1 - \sum_{k=0}^{i=20} P(X=k)\\ &= 1 - F_{1500;0,02(20)} \\ &\approx 96,6 \;\% \end{align*}\] Taschenrechnereingabe:

1 - binomialcdf(1500, 0.02, 20)

Johnnys Tafel Ansichten eines Lehrers